已知函数f(x)=ex+aex(a∈R)若f是奇函数，求实数a的值；若函数y=|f|在[0，1]上单调递增，试

题文

已知函数f(x)=ex+aex(a∈R)（其中e是自然对数的底数）
（1）若f（x）是奇函数，求实数a的值；
（2）若函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，试求实数a的取值范围；
（3）设函数ϕ(x)=12(x2-3x+3)[f(x)+f′(x)]，求证：对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足ϕ′(x0)ex0=23(t-1)2，并确定这样的x₀的个数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f（x）是实数集R上的奇函数，∴f（0）=0，∴1+a=0，解得a=-1．
∴f（x）=e^x-e^-x，经验证函数f（x）是R上的奇函数．
故a=-1适合题意．
（2）a=0时，y=e^x在区间[0，1]上单调递增，适合题意；
当a≠0时，令t=e^x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，e]．且t=e^x单调递增，故y=|t+at|在t∈[1，e]时递增．
当a＞0时，函数y=t+at在t∈[1，e]时单调递增，得a≤1，∴0＜a≤1．
当a＜0时，y=t+at在t∈[1，e]时单调递增恒成立，故∀t∈[1，e]，t+at≥0．
∴-1≤a＜0．
综上可知：-1≤a≤1．
（3）∵f（x）+f^′（x）=ex+aex+ex-aex=2e^x，∴φ（x）=（x²-3x+3）e^x，∴φ ′(x)φ(x)=x²-x．
要证明：对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足ϕ′(x0)ex0=23(t-1)2．
等价于证明：对任意的t＞-2，方程x2-x=23(t-1)2在区间（-2，t）内有实数解．
令g（x）=x2-x-23(t-1)2，
则g（-2）=6-23(t-1)2=-23(t+2)(t-4)，g（t）=13(t-1)(t+2)．
所以①当t＞4，或-2＜t＜1时，g（-2）g（t）＜0，
∴g（x）=0在（-2，t）内有解，且只有一解．
②当1＜t＜4时，g（-2）＞0，且g（t）＞0，但g（0）=-23(t-1)2＜0，
∴g（x）=0在（-2，t）内有解，且由两解．
③当t=1时，有且只有一个解x=0；
当t=4时，有且只有一个解x=3．
综上所述：对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足ϕ′(x0)ex0=23(t-1)2．
且当t≥4或-2＜≤1时，有唯一的x₀适合题意；
当1＜t＜4时，有两个不同的x₀适合题意．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ex+aex(a∈R).....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|