已知函数f(x)=x+ax+b(x≠0)，其中a，b∈R．若a=b=1，x∈[12，2]，求f的值域；讨论函数f的单调性；若对于任

题文

已知函数f(x)=x+ax+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若a=b=1，x∈[12，2]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[12，2]，不等式f（x）≤10在[14，1]上恒成立，求b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为f（x）=x+1x+1
根据特殊函数y=+x1x的单调性得：函数在[12，1]上递减，在[1，2]上递增；
而 f（1）=3，f（12）=f（2）=72
所以：f（x）∈[3，72]，
（Ⅱ）f′(x)=1-ax2．
当a≤0时，显然f'（x）＞0（x≠0）．这时f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上内是增函数．
当a＞0时，令f'（x）=0，解得x=±a．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x(-∞，-a)-a(-a，0)(0，a)a(a，+∞)f'（x）+0--0+f（x）↗极大值↘↘极小值↗所以f（x）在(-∞，-a)，(a，+∞)内是增函数，在(-a，0)，（0，+∞）内是减函数．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在[14，1]上的最大值为f(14)与f（1）的较大者，
对于任意的a∈[12，2]，不等式f（x）≤10在[14，1]上恒成立，
当且仅当f(14)≤10f(1)≤10，即b≤394-4ab≤9-a，对任意的a∈[12，2]成立．
从而得b≤74，所以满足条件的b的取值范围是(-∞，74]．

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x+ax+b(x≠0).....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|