已知函数f=2x，g=-x2+2x+b，记h(x)=f(x)-1f(x)．判断h的奇偶性，并证明；对任意x∈[1，2]，

题文

已知函数f（x）=2^x，g（x）=-x²+2x+b（b∈R），记h(x)=f(x)-1f(x)．
（Ⅰ）判断h（x）的奇偶性，并证明；
（Ⅱ）对任意x∈[1，2]，都存在x₁，x₂∈[1，2]，使得f（x）≤f（x₁），g（x）≤g（x₂）．若f（x₁）=g（x₂），求实数b的值；
（Ⅲ）若2^xh（2x）+mh（x）≥0对于一切x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题满分14分）
（Ⅰ）函数h(x)=2x-12x为奇函数…（2分）
现证明如下：
∵函数h（x）的定义域为R，关于原点对称．…（3分）
由h(-x)=2-x-12-x=12x-2x=-(2x-12x)=-h(x)…（5分）
∴函数h(x)=2x-12x为奇函数…（6分）
（Ⅱ）据题意知，当x∈[1，2]时，f（x）_max=f（x₁），g（x）_max=g（x₂）…（7分）
∵f（x）=2^x在区间[1，2]上单调递增，
∴f(x)max=f(2)=22=4，即f（x₁）=4…（8分）
又∵g（x）=-x²+2x+b=-（x-1）²+b+1
∴函数y=g（x）的对称轴为x=1
∴函数y=g（x）在区间[1，2]上单调递减
∴g（x）_max=g（1）=1+b，即g（x₂）=1+b…（9分）
由f（x₁）=g（x₂），
得1+b=4，∴b=3…（10分）
（Ⅲ）当x∈[1，2]时，2x(22x-122x)+m(2x-12x)≥0
即m（2^2x-1）≥-（2^4x-1），
∵2^2x-1＞0，∴m≥-（2^2x+1）…（12分）
令k（x）=-（2^2x+1），x∈[1，2]
下面求函数k（x）的最大值．
∵x∈[1，2]，∴-（2^2x+1）∈[-17，-5]，
∴k（x）_max=-5…（13分）
故m的取值范围是[-5，+∞）…（14分）

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解析

12x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x，g（x）=-x2.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|