已知函数f(x)=x2+ax+bx(x≠0)是奇函数，且满足f=f求实数a、b的值；试证明函数f在区间（0，2]单调递减，在区间（

题文

已知函数f(x)=x2+ax+bx(x≠0)是奇函数，且满足f（1）=f（4）
（Ⅰ）求实数a、b的值； 
（Ⅱ）试证明函数f（x）在区间（0，2]单调递减，在区间（2，+∞）单调递增；
（Ⅲ）是否存在实数k同时满足以下两个条件：
①不等式f(x)+k2＜0对x∈（0，+∞）恒成立；
②方程f（x）=k在x∈[-6，-1]上有解．若存在，试求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ） 由f（1）=f（4）得1+a+b=16+4a+b4，解得b=4．  …（1分）
由f(x)=x2+ax+bx(x≠0)为奇函数，得f（x）+f（-x）=0对x≠0恒成立，
即x2+ax+bx+x2-ax+b-x=2a=0，所以a=0．  …（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=x+4x．
任取x₁，x₂∈（0，2]，且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=(x1+4x1)-(x2+4x2)=(x1-x2)x1x2-4x1x2，…（5分）
∵0＜x₁＜x₂≤2，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），
所以，函数f（x）在区间（0，2]单调递减．  …（7分）
类似地，可证f（x）在区间（2，+∞）单调递增．  …（8分）
（Ⅲ）对于条件①，由（Ⅱ）得函数f（x）在（0，+∞）上有最小值f（2）=4，
故若f(x)+k2＜0对x∈（0，+∞）恒成立，
则需f（x）_min＞-k2，则4＞-k2，
∴k＞-8；
对于条件②，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（-∞，-2）上递增，在[-2，0）上递减，
∴函数f（x）在[-6，-2]上递增，在[-2，0）上递减，
又f（-6）=-203，f（-2）=-4，f（-1）=-5，
所以函数f（x）在[-6，-1]上的值域为[-203，-4]，
若方程f（x）=k在[-6，-1]上有解，则需-203≤k≤-4，
若同时满足条件①②，则需k＞-8-203≤ k≤-4．
所以：-203≤k≤-4．
故当-203≤k≤-4时，条件①②同时满足．

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解析

16+4a+b4

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x2+ax+bx(x≠.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|