设f=ax2+bx+1，．若f(12)=0，且f的最小值为0，若g(x)=f(x)+k-1x在[1，2]上是单调函数，求k的取

题文

设f（x）=ax²+bx+1，（a，b为常数）．若f(12)=0，且f（x）的最小值为0，
（1）若g(x)=f(x)+k-1x在[1，2]上是单调函数，求k的取值范围．
（2）若g(x)=f(x)+k-1x，对任意x∈[1，2]，存在x₀∈[-2，2]，使g（x）＜f（x₀）成立．求k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）=ax²+bx+1，f(12)=0，f（x）的最小值为0，
∴a4+b2+1=04a-b24a=0，解得a=4，b=-4，
∴f（x）=4x²-4x+1．
∴g(x)=f(x)+k-1x=4x2-4x+1x
=4x+kx-4≥24x•kx-4=4k-4，
当且仅当4x=kx，即x=k2时，g（x）取最小值4k-4．
∵g(x)=f(x)+k-1x在[1，2]上是单调函数，
∴k2≤1，或k2≥2，
解得k≤4，或k≥16．
（2）∵g(x)=f(x)+k-1x，对任意x∈[1，2]，存在x₀∈[-2，2]，使g（x）＜f（x₀）成立．
当x₀∈[-2，2]时，f（x₀）=4x₀²-4x₀+1在x₀=-2时取最大值f（x₀）_max=f（-2）=4×4-4×（-2）+1=25．
∴g(x)=f(x)+k-1x=4x+kx-4＜25在[1，2]恒成立，
∴4x²-29x+k＜0在[1，2]恒成立，
∴k＜25．
∴k的取值范围是（-∞，25）．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=ax2+bx+1，（a，b为.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|