设对任意实数x∈[-1，1]，不等式x2+ax-3a＜0恒成立，则实数a的取值范围是A．a＞0B．a＞12C．a＞0或a＜-12D．a＞14

题文

设对任意实数x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A．a＞0B．a＞12C．a＞0或a＜-12D．a＞14 题型：未知 难度：其他题型

答案

解法一：y=x²+ax-3a的对称轴是x=-a2．
①当-a2≥1，即a≤-2时，x=-1离对称轴最远，而函数开口向上，所以有最大值，
其最大值是a＞14，与a≤-2相矛盾．
∴a∈∅；
②当-1＜-a2＜1，即-2＜a＜2时，
x=-1或x=1时，有最大值．
由①知，x=-1有最大值时，其最大值是a＞14，故14＜a＜2；
当x=1有最大值时，其最大值是1-2a＜0，即a＞12，故12＜a＜2．
∴12＜a＜2；
③当-a2≤-1，即a≥2时，
x=1时有最大值，
其最大值是1-2a＜0，a＞12，
∴a≥2．
综上所述，a＞12．
故选B．
解法二：设f（x）=x²+ax-3a，
∵对任意实数x∈[-1，1]，不等式x²+ax-3a＜0恒成立，
∴f(-1)=1-a-3a＜0f(1)=1+a-3a＜0，
即1-4a＜01-2a＜0，
∴a＞14a＞12，故a＞12．
故选B．

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解析

a2

考点

据考高分专家说，试题“设对任意实数x∈[-1，1]，不等式x2.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|