题文
已知定义在R上的函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a,b,c,d∈R)的图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值-25.(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使得此两点处的切线互相垂直?试证明你的结论;
(Ⅲ)若x1,x2∈[-1,1]时,求证:|f (x1)-f (x2)|≤45. 题型:未知 难度:其他题型
答案
(Ⅰ)∵函数f(x)的图象关于原点对称,∴f(0)=0,即4d=0,∴d=0
又f(-1)=-f(1),
即-a-2b-c=-a+2b-c,
∴b=0
∴f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c.
∵x=1时,f(x)取极小值-25,
∴3a+c=0且 a+c=-25.
解得a=15,c=-35.
∴f(x)=15x3-35x…4
(Ⅱ)当x∈[-1,1]时,图象上不存在这样的两点使得结论成立.
假设图象上存在两点A(x1,y1),B(x2,y2),使得过此两点处的切线互相垂直,
则由f′(x)=35(x2-1)知两点处的切线斜率分别为k1=35(x21-1),k2=35(x22-1),且925(x21-1)(x22-1)=1 (*)
∵x1,x2∈[-1,1],
∴x21-1≤0,x22-1≤0
∴(x21-1)(x22-1)≥0 此与(*)矛盾,故假设不成立 …(8分)(文12分)
(Ⅲ)证明:f′(x)=35(x2-1),令f′(x)=0,得x=±1
∴x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,x∈(-1,1)时,f′(x)<0
∴f(x)在[-1,1]上是减函数,且fmax(x)=f(-1)=25,fmin(x)=f(1)=-25.
∴在[-1,1]上|f(x)|≤25,于是x1,x2∈[-1,1]时,
|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤25+25=45…(12分)
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解析
25考点
据考高分专家说,试题“已知定义在R上的函数f(x)=ax3-2.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义:
偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数。
奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数。
函数的周期性:
(1)定义:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使f(x+T)=f(x)恒成立,则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
(2)若T是周期,则k·T(k≠0,k∈Z)也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期,如常函数f(x)=C。
奇函数与偶函数性质:
(1)奇函数与偶函数的图像的对称性:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。
(3)在公共定义域内,①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数。
注:定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称;定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.
2、函数的周期性 令a , b 均不为零,若:
(1)函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
(2)函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
(3)函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
(4)函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
(5)函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|4a|