题文
已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．（Ⅰ）试判断当a，b为何值时，函数f（x）为偶函数；
（Ⅱ）当a=-103，b=0时，求函数f（x）在R上的最值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）要使函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R）为偶函数，则f（-x）=f（x），即x4-ax3+2x2+b=x4+ax3+2x2+b，解得a=0，b∈R时，函数为偶函数． …（5分）
（Ⅱ）f'（x）=4x3+3ax2+4x=x（4x2+3ax+4）． …（6分）
当a=-103时，f'（x）=x（4x2-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）． …（7分）
令f'（x）=0，解得x1=0，x2=12，x3=2． …（8分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x（-∞，0）0(0，12)12(12，2)2（2，+∞）f'（x）-0+0-0+f（x）↘极小值↗极大值↘极小值↗∵f(0)=0，f(2)=-83
∴当x=2时取得最小值-83…（14分）
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解析
103考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
