题文
已知函数f（x）=x3-3|x-a|+λ•sin（π•x），其中a，λ∈R；（1）当a=0时，求f（1）的值并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）当a=0时，若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线经过坐标原点，求λ的值；
（3）当λ=0时，求函数f（x）在[0，2]上的最小值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）a=0时f（x）=x3-3|x|+λ•sin（π•x）f（-1）=-4，f（1）=-2，
所以f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），
所以f（x）时非奇非偶函数
（2）x＞0时，f（x）=x3-3x+λsin（πx），所以f'（x）=3x2-3+λπcos（πx）
所以在x=1处的切线方程为y+2=-λπ（x-1）
因为过原点，所以λ=2π
（3）当a≤0时，x∈[0，2]上f（x）=x3-3x+3a，f'（x）=3x2-3，
所以f（x）在[0，1]内单调递减，[1，2]递增，所以ymin=f（1）=3a-2
当a≥2时，x∈[0，2]上f（x）=x3+3x-3a，f'（x）=3x2+3＞0，
所以f（x）单调递增，ymin=f（0）=-3a
当0＜a＜2时，f(x)=x3+3x-3a(0≤x≤a)x3-3x+3a(a≤x≤2)，
当0≤x≤a时，f'（x）=3x2+3＞0，所以f（x）单调递增，ymin=f（0）=-3a
当a≤x≤2时，因f'（x）=3x2-3，所以f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上递增，所以若0＜a≤1，
则ymin=f（1）=3a-2，当1＜a＜2时ymin=f（a）=a3
而0＜a≤1时 3a-2-（-3a）=6a-2，
所以，x∈[0，2]时ymin=f(0)=-3a13＜a≤1f(1)=3a-2，0＜a≤13
同样1＜a＜2，因a3＞-3a，所以ymin=f（0）=-3a
综上：a≤13时，ymin=f（1）=3a-2a＞13时，ymin=f（0）=-3a
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解析
2π考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3-3|x-a|+λ.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
