已知函数f=lnx-ax+2．讨论函数f的单调区间；若xlnx≤mx2-12在x∈[1e，1]上恒成立，求m的取值范围．

题文

已知函数f（x）=lnx-ax+2．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若xlnx≤mx²-12在x∈[1e，1]上恒成立，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）定义域{x|x＞0}．（1分）f′(x)=1x+ax2=x+ax2
当a＜0时，x∈（0，-a），f'（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（-a，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当a≥0时，x∈（0，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．（4分）
（Ⅱ）由xlnx≤mx2-12，得lnxx+12x2≤m．
令已知函数g(x)=lnxx+12x2．（5分）g′(x)=1-lnx-1xx2．
∵当a=-1时，f(x)=lnx+1x+2，
∴g′(x)=1-lnx-1xx2=3-(lnx+1x+2)x2．（7分）
当x∈（0，1）时，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增．（8分）
f（x）≥f（1）=3，即lnx+1x+2≥3，
∴g′(x)=3-(lnx+1x+2)x2≤0，
∴g（x）在x∈（0，+∞）上，g'（x）≤0，g（x）单调递减，（9分）
在[1e，1]上，g(x)≤g(1e)=-e+e22，若lnxx+12x2≤m恒成立，则m∈[-e+e22，+∞)．（10分）

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lnx-ax+2．（Ⅰ.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|