题文
已知数列{an}的首项a1=1，且点An（an，an+1）在函数y=xx+1的图象上．（1）证明：{1an}为等差数列，并求{an}的通项公式．
（2）若{bn}表示直线AnAn+1的斜率，且bn＞m2-2m+13对n∈N*恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）证明：∵点An（an，an+1）在函数y=xx+1的图象上，∴an+1=anan+1，两边取倒数得1an+1=1an+1，得到1an+1-1an=1，
∴数列{1an}是首项为1a1=1，公差为1的等差数列，
∴1an=1+(n-1)×1=n，∴an=1n．
（2）∵bn=an+2-an+1an+1-an=1n+2-1n+11n+1-1n=nn+2，∴bn+1=n+1n+3，
∴bn+1-bn=n+1n+3-nn+2=2(n+2)(n+3)＞0，即数列{bn}是递增数列，其最小值为b1=13．
∵bn＞m2-2m+13对n∈N*恒成立，∴[bn]min＞m2-2m+13，
即13＞m2-2m+13，化为m2-3m＜0，解得0＜m＜3．
∴实数m的取值范围是（0，3）．
点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习
解析
xx+1考点
据考高分专家说，试题“已知数列{an}的首项a1=1，且点An.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
