已知函数f=x2-x+alnx求函数f的单调区间；若函数f在[1，2]上总存在x1，x2，使得

题文

已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx（a＞0）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上总存在x₁，x₂，使得（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）函数y=f（x）的定义域为：（0，+∞）
因为f（x）=x²-（2a+1）x+alnx（a＞0）
所以f'（x）=2x-（2a+1）+ax=(2x-1)(x-a)x
令f'（x）=0则x1=12，x₂=a
（i）当0＜a＜12时，由f'（x）＞0得x∈（0，a），（12，+∞）
由f'（x）＜0得，x∈（a，12）
所以函数f（x）的单调递减区间是（a，12）
（ii）a=12时，f'（x）≥0
所以函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）
（iii）当a＞12时由f'（x）＞0得x∈（0，12），（a，+∞）
所以函数f（x）的单调递增区间是（0，12），（a，+∞）
由f'（x）＜0得x∈（12，a）
所以函数f（x）的单调递减区间是（12，a）
（II）要使函数f（x）在[1，2]上总存在x₁，x₂，使得（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，即
函数f（x）在[1，2]上不是单调递减函数．
由（I）可知，函数f（x）在[1，2]上单调递减时，a∈[2，+∞）
所以a∈（0，2）时，函数f（x）在[1，2]上不是单调递减函数．
所以函数f（x）在[1，2]上总存在x₁，x₂，使得（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，
实数a的取值范围是（0，2）．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|