已知函数f=2xx+1当x≥1时，证明：不等式f≤x+lnx恒成立．若数列{an}满足a1=23，an+1=f，bn=1an-1

题文

已知函数f（x）=2xx+1
（1）当x≥1时，证明：不等式f（x）≤x+lnx恒成立．
（2）若数列{a_n}满足a₁=23，a_n+1=f（a_n），b_n=1an-1，n∈N⁺，证明数列{b_n}是等比数列，并求出数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若c_n=a_n•a_n+1•b_n+1（n∈N⁺），证明：c₁+c₂+c₃+…c_n＜13 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵x≥1得f（x）-x=2xx+1-x=2x-x2-xx+1=-x(x-1)x+1≤0，
而x≥1时，lnx≥0
∵x≥1时，f（x）-x≤lnx
∴当x≥1时，f（x）≤x+lnx恒成立
（2）a₁=23，a_n+1=f（a_n），b_n=1an-1，n∈N⁺∴a_n+1=2anan+1得1an+1=12+12an
∴a₁=23，a_n+1=f（a_n），b_n=1an-1，n∈N⁺
∴bn+1bn=1an+1-11an-1=12+12an-11an-1=12an-121an-1=12（n∈N⁺）
又b₁=1a1-1=12∴{b_n}是首项为12，公比为12的等比数列，其通项公式为b_n=12n
又a₁=23，a_n+1=f（a_n），b_n=1an-1，n∈N⁺
∴a_n=1bn+1=112n+1=2n2n+1（n∈N⁺）
（3）c_n=a_n•a_n+1•b_n+1=2n2n+1×2n+12n+1+1×12n+1=2n2n+1×12n+1+1=12n+1-12n+1+1
∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=（121+1-122+1）+（122+1-123+1）+…+（12n+1-12n+1+1）=13-12n+1+1＜13

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解析

2xx+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2xx+1（1）当x≥.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|