题文
已知函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e（其中a、b、c、d、x∈R）为偶函数，它的图象过点A（0，-1），且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0．（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若对任意x∈R，不等式f（x）≤t（x2+1）总成立，求实数t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）恒成立．即a（-x）4+b（-x）3+c（-x）2+d（-x）+e=ax4+bx3+cx2+dx+e恒成立，
∴b=0，d=0，即f（x）=ax4+cx2+e．
又由图象过点A（0，-1），可知f（0）=-1，即e=-1．
又f′（x）=4ax3+2cx，由题意知函数y=f（x）在点（1，0）的切线斜率为-2，
故f′（1）=-2且f（1）=0．
∴4a+2c=-2且a+c-1=0．可得a=-2，c=3．
∴f（x）=-2x4+3x2-1．
（2）由f（x）≤t（x2+1）恒成立，且x2+1恒大于0，
可得-2x4+3x2-1x2+1≤t恒成立．
令g(x)=-2x4+3x2-1x2+1，设x2+1=m，则m≥1，
∴g(x)=-2x4+3x2-1x2+1=-2m2+7m-6m=7-2(m+3m)≤7-4m•3m=7-43（当且仅当m=3时，“=”号成立）．
∴g（x）的最大值为7-43，
故实数t的取值范围是[7-43，+∞)．
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解析
-2x4+3x2-1x2+1考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax4+bx3+cx2.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
