已知函数f=x2+ax+b，若当x∈[-1，1]，f≤0恒成立，求b-5a-2的取值范围；若a∈[-1，1]，b∈[-

题文

已知函数f（x）=x²+ax+b（其中a，b∈R），
（1）若当x∈[-1，1]，f（x）≤0恒成立，求b-5a-2的取值范围；
（2）若a∈[-1，1]，b∈[-1，1]，求f（x）无零点的概率；
（3）若对于任意的正整数k，当x=55…5k个5时，都有f(x)=55…52k个5成立，则称这样f（x）是K₂函数，现有函数g(x)=145x2+(a+2)x+b-f(x)，试判断g（x）是不是K₂函数？并给予证明．⏟ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）据题意：f(-1)≤0f(1)≤0∴a-b+1≤0a+b+1≤0
可行域如图b-5a-2的几何意义是定点P（2，5）到区域内的点Q（a，b）连线的斜率k，b-5a-2的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）当f（x）有零点时，a²≥4b，满足条件为-1≤a≤1-1≤b≤1a2≥4b
由抛物线的下方与a=±1，b=-1围成的区域面积，S1=∫1-1(14a2+1)da=(112a3+a)|1-1=136，
由直线a=±1，b=±1围成的区域面积S₂=4，
故f（x）有零点的概率P=S1S2=1324，∴f（x）无零点的概率为.P=1-P=1124；
（3）g（x）是K₂函数，
证明：g(x)=95x2+2x符合条件，
因为555k个5=5(1+10+100++10k-1)=59(10k-1)，
同理：5552k个5=59(102k-1)；g(555k个5)=g(59(10k-1))=95[59(10k-1)]2+2×59(10k-1)
=59(10k-1)2+2×59(10k-1)=59(10k-1)(10k+1)=59(102k-1)=5552k个5，
所以，g(x)=95x2+2x符合条件．

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

f(-1)≤0f(1)≤0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+ax+b（其中a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|