设f是定义在[-1，1]上的奇函数，函数g与f的图象关于y轴对称，且当x∈时，g=1nx-ax2．求函数f的解析式

题文

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，且当x∈（0，1）时，g（x）=1nx-ax²．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间（0，1）上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（x）的图象上任意一点P（x，y）关于y轴对称的对称点Q（-x，y）在g（x）的图象上．
当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]，则f（x）=g（-x）=ln（-x）-ax²．（2分）
∵f（x）为[-1，1]上的奇函数，则f（0）=0．（4分）
当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），f（x）=-f（-x）=-lnx+ax²．（6分）
∴f（x）=ln(-x)-ax2(-1≤x＜0)0  (x=0)-lnx+ax2(0＜x≤1)（7分）
（2）由（1）知，f'（x）=-1x+2ax．
①若f'（x）≤0在（0，1]恒成立，则-1x+2ax≤0⇒a≤12x2．
此时，a≤12，f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）_min=f（1）=a，
∴f（x）的值域为[a，+∞）与|f（x）|≥1矛盾．（11分）
②当a＞12时，令f'（x）=-1x+2ax=0⇒x=12a∈（0，1]，
∴当x∈（0，12a）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（12a，1]时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）_min=f（12a）=-ln12a+a( 12a)2=12ln2a+12．
由|f（x）|≥1，得12ln2a+12≥1⇒≥e2．（15分）
综上所述，实数a的取值范围为a≥e2．（16分）

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解析

ln(-x)-ax2(-1≤x＜0)0  (x=0)-lnx+ax2(0＜x≤1)

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|