题文
设f（x）=3ax2+2bx+c，且a+b+c=0，，求证：（1）若f（0）•f（1）＞0，求证：-2＜ba＜-1；
（2）在（1）的条件下，证明函数f（x）的图象与x轴总有两个不同的公共点A，B，并求|AB|的取值范围．
（3）若a＞b＞c，g（x）=2ax2+（a+b）x+b，求证：x≤-3时，恒有f（x）＞g（x）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）若a=0，则b=-c，f（0）•f（1）=c•（3a+2b+c）=-c2≤0与已知矛盾∴a≠0…（2分）由f（0）•f（1）＞0，得c（3a+2b+c）＞0
由条件a+b+c=0消去c，得（a+b）（2a+b）＜0∵a2＞0∴(1+ba)(2+ba)＜0，∴-2＜ba＜-1…（4分）
（2）方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4（b2-3ac）
由条件a+b+c=0消去b，得△=4(a2+c2-ac)=4[(a-c2)2+34c2]＞0∴方程f（x）=0有实根
即函数f（x）的图象与x轴总有两个不同的交点A、B．设A（x1，0），B（x2，0）
由条件知x1+x2=-2b3ax1x2=c3a=-a+b3a∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=49•b2a2+43(1+ba)=49•(ba+32)2+13∵-2＜ba＜-1∴13≤(x1-x2)2＜49∴33≤|x1-x2|＜23即33≤|AB|＜23…（9分）
（3）设h（x）=f（x）-g（x）=ax2+（b-a）x+c-b=ax2-（2a+c）x+a+2c∵a＞b＞c，a+b+c=0∴a＞0且a＞-a-c＞c
即-2＜ca＜-12
又h（x）的对称轴为x=2a+c2a=1+c2a＞0
∴x≤-3时，h(x)≥3a+3(2a+c)+a+2c=(2+3)(2a+c)＞0
即x≤-3时，f（x）＞g（x）恒成立…（14分）
点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习
解析
ba考点
据考高分专家说，试题“设f（x）=3ax2+2bx+c，且a+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
