题文
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足条件f（-1），当x∈R时x≤f（x）≤(x+1)24恒成立．（1）求f（1）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若x1，x2∈（0，+∞），且1x1+ 1x2 =2，求证：f（x1）•f（x2）≥1． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵x≤f（x）≤(x+1)24∴当x=1时．1≤f（1）≤(1+1)24=1．
∴f（1）=1．
（2）由（1）知a+b+c=1，又f（-1）=0，∴a-b+c=0
从而b=12a+c=12，又x∈R时，f（x）≥x恒成立．
即ax2+（b-1）x+c≥0，故a＞0△=(b-1)2-4ac≤0
∴ac≥116
∴c＞0 而a+c=12≥ 2ac
∴ac≤116
∴ac=116
∴a=c=14．∴f(x)=14x2+12x+14．
（3）∵1x1+1x2=2，x1，x2∈（0，+∞），
∴x1+x2=2x1x2
∴x1+x2≥2x1x2 （当且仅当x1=x2=1时取等号）
∴2x1x2≥2x1x2
∴x1x2≥1．
又（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=3x1x2+1≥4．
∴f（x1）•f（x2）=(x1+1)24•(x2+1)24≥ 1 （当且仅当x1=x2=1时取等号）
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解析
(x+1)24考点
据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
