题文
已知函数f（x）=lnx，g(x)=12x2，（I）设函数F（x）=ag（x）-f（x）（a＞0），若F（x）没有零点，求a的取值范围；
（II）若x1＞x2＞0，总有m[g（x1）-g（x2）]＞x1f（x1）-x2f（x2）成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）F（x）=ag（x）-f（x）=12ax2-lnx，F′（x）=ax-1x=ax2-1x （x＞0）
∴函数F（x）在（0，1a）上为减函数，在（1a，+∞）上为增函数
若F（x）没有零点，须且只须F（1a）＞0，
即12a+12lna＞0，即1a+lna＞0
设g（a）=1a+lna，∵g′（a）=a-1a2
∴g（a）在（0，1）而为减函数，在（1，+∞）上为增函数，而g（1）=1＞0
∴g（a）＞0，即当a＞0时，1a+lna＞0恒成立
故若F（x）没有零点，则a的取值范围为（0，+∞）
（II）若x1＞x2＞0，总有m[g（x1）-g（x2）]＞x1f（x1）-x2f（x2）成立，
即若x1＞x2＞0，总有mg（x1）-x1f（x1）＞mg（x2）-x2f（x2）成立，
即函数h（x）=mg（x）-xf（x）=12mx2-xlnx，在（0，+∞）上为增函数，
即h′（x）=mx-lnx-1≥0在（0，+∞）上恒成立
即m≥lnx+1x在（0，+∞）上恒成立
设G（x）=lnx+1x，则G′（x）=-lnxx2
∴G（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，
∴G（x）≤G（1）=1
∴m≥1
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解析
12考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lnx，g(x)=12.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
