题文
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R，且a≠0），且函数f（x）图象关于原点中心对称，其图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，且g(x)=f/(x)+f/(3)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f(x)＞32x2-3x+a2+a在[0，2]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若数列{an}满足an+1=g（an），a1=2，（n∈N*），
试证明：1a1+1a2+…+1an＜78 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）因为函数f（x）关于原点对称，所以b=d=0，所以f（x）=ax3+cx，又有f′（x）=3ax2+c，又函数f（x）在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，
所以f′（3）=3a×9+c=8，f（3）=27a+3c=6，
所以a=13，c=-1即f(x)=13x3-x．
（2）f(x)＞32x2-3x+a2+a在[0，2]上恒成立，即f(x)-32x2+3x＞a2+a，
即证13x3-32x2+2x＞a2+a在[0，2]上恒成立，
令h(x)=13x3-32x2+2x，则h′（x）=x2-3x+2，令h′（x）=x2-3x+2=0，
则x1=1，x2=2
则有当x＜1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，1）递增；
当1＜x＜3时，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，3）递减；
当x＞3时，f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，1）递增；
所以h(0)=0，h(2)=23，
所以函数h（x）在[0，2]的最小值为0，所以有0＞a2+a，即-1＜a＜0
（3）g(x)=f/(x)+f/(3)=x2+1＞0，由an+1=g（an），a1=2，
所以an+1=an2+1＞an2＞0，
所以lnan+1＞2lnan＞22lnan-1＞＞2n-1ln2，
所以an＞22n-1，则有1an＜122n-1，
所以1a1+1a2++1an＜12+122+124++122n-1＜12+122+123+124+125++122n-1-123＜12[1-(12)2n-1]1-12-123＜1-(12)2n-1-18＜78（14分）
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解析
13考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
