已知函数f定义在区间上，f=-1，且当x，y∈时，恒有f-f=f．又数列{an}满足，a1=

题文

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（12）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（x-y1-xy）．又数列{a_n}满足，a₁=12，a_n+1=2an1+an2．
（I ）证明：f（x）在（-1，1）上是奇函数
（ II ）求f（a_n）的表达式；
（III）设b_n=12log2|f(an+1)，T_n为数列{b_n}的前n项和，若T_2n+1-T_n≤m15（其中m∈N^*）对N∈N^*恒成立，求m的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：令x=y=0时，则由已知有f（0）-f（0）=f（0-01-0×0），
可解得f （0）=0．
再令x=0，y∈（-1，1），则有f（0）-f（y）=f（0-y1-0•y），即f （-y）=-f （y），
∴f （x）是（-1，1）上的奇函数．…（4分）
（Ⅱ）令x=a_n，y=-a_n，于是f（a_n）-f（-a_n）=f（2an1+a2n），
由已知得2f （a_n）=f （a_n+1），
∴f(an+1)f(an)=2，
∴数列{f（a_n）}是以f（a₁）=f（12）=-1为首项，2为公比的等比数列．
∴f（a_n）═1×2^n-1=-2^n-1…（8分）
（III）由（II）得f（a_n+1）=-2ⁿ，于b_n=12n．
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=12（1+12+13+…1n），
T_2n+1=12（1+12+13+…12n+1），
∴T_2n+1-T_n=12（1n+1+1n+2+…+12n+1）．
令k（n）=12（1n+1+1n+2+…+12n+1）．
于是k（n+1）=12（1n+2+1n+3+…+12n+3）．
∴k（n+1）-k（n）=12（12n+2+12n+3-1n+1）=-14(n+1)(2n+3)＜0．
∴k（n+1）＜k（n），即k（n）在N*上单调递减，
∴k（n）_max=k（1）=T₃-T₁=512，
∴m15≥512即m≥254．
∵m∈N^*，
∴m的最小值为7．…（12分）

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解析

0-01-0×0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|