已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f．设P1，P2=f，P3=f，…，Pn=f（

题文

已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．
设P₁（x₁，y₁），P₂=f（P₁），P₃=f（P₂），…，P_n=f（P_n-1），…．如果存在一个圆，使所有的点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P_n（x_n，y_n）的一个收敛圆．特别地，当P₁=f（P₁）时，则称点P₁为映射f下的不动点．
（Ⅰ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点Q（2x，1-y）．
①求映射f下不动点的坐标；
②若P₁的坐标为（1，2），判断点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由．
（Ⅱ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(x+y2+1，x-y2)，P₁（2，3）．求证：点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）存在一个半径为5的收敛圆． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）①设不动点的坐标为P₀（x₀，y₀），
 由题意，得x0=2x0y0=1-y0，解得x0=0， y0=12，
所以映射f下不动点为P0(0， 12)
②结论：点P_n（x_n，y_n）不存在一个半径为3的收敛圆．
  证明：由P₁（1，2），得P₂（2，-1），P₃（4，2），P₄（8，-1），
   所以|P₁P₄|=58＞6，
   则点P₁，P₄不可能在同 一个半径为3的圆内，
   所以点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*） 不存在一个半径为3的收敛圆
 （Ⅱ）证明：由P₁（2，3），得P2(72，-12)．
由P_n+1=f（P_n），得xn+1=xn+yn2+1yn+1=xn-yn2
所以x_n+1+y_n+1=x_n+1，x_n+1-y_n+1=y_n+1，
   由P_n+2=f（P_n+1），得xn+2=xn+1+yn+12+1yn+2=xn+1-yn+12，
  所以x_n+2=12xn+32， yn+2=12yn+12
  即x_n+2-3=12(xn-3)， yn+2-1=12(yn-1)，
  由x₁-3≠0，x₂-3≠0，得x_n-3≠0，
同理y_n-1≠0，
  所以xn+2-3xn-3=12， yn+2-1yn-1=12，
  所以数列{x_2n-1-3}，{x_2n-3}（n∈N^*）都是公比为12的等比数列，首项分别为   x1-3=-1， x2-3=12，
  所以x2n-1-3=-(12)n-1， x2n-3=12×(12)n-1，
 同理可得y2n-1-1=2×(12)n-1， y2n-1=-32×(12)n-1
 所以对任意n∈N^*，|x_n-3|≤1，|y_n-1|≤2，
 设A（3，1），则|AP_n|=(xn-3)2+(yn-1)2≤1+4，
  所以|AP_n|≤5，
 故所有的点P_n（n∈N^*）都在以A（3，1）为圆心，5为半径的圆内或圆上，
  即点P_n（x_n，y_n）存在一个半径为5的收敛圆

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解析

x0=2x0y0=1-y0

考点

据考高分专家说，试题“已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|