设函数f=tx2+2t2x+t-1．若t＞0，求f的最小值h；对于中的h，若t∈（0，2]时，h（

题文

设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1（x∈[-1，1]）．
（1）若t＞0，求f（x）的最小值h（t）；
（2）对于（1）中的h（t），若t∈（0，2]时，h（t）＜-2t+m²+4m恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）=t（x+t）²-t³+t-1，
①若-t＜-1，即t＞1时，f（x）在[-1，1]上单调递增，f（x）的最小值为f（-1）=-2t²+2t-1；
②若-1≤-t＜0，即0＜t≤1时，则f（x）在[-1，1]上的最小值为f（-t）=-t³+t-1；
∴h(t)=-t3+t-1-2t2+2t-1t∈(0， 1]  t∈(1，+∞)．                （6分）
（2）令g（t）=h（t）+2t=-t3+3t-1-2t2+4t-1t∈(0， 1]  t∈(1， 2]．  （7分）
①0＜t≤1时，由g′（t）=-3t²+3≥0，
∴g（t）在（0，1]单调递增；（9分）
②1＜t≤2时，g（t）=-2t²+4t-1=-2（t-1）²+1g（t）在（1，2]上单调递减，
由①、②可知，g（t）在区间（0，2]上的最大值为g（1）=1．（11分）
所以h（t）＜-2t+m²+4m在（0，2]内恒成立，等价于g（t）＜m²+4m在（0，2]内恒成立，
即只要1＜m²+4m，
解m²+4m-1＞0得：m＜-2-5或m＞-2+5
所以m的取值范围为(-∞， -2-5)∪(-2+5， +∞)．        （14分）

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解析

-t3+t-1-2t2+2t-1

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=tx2+2t2x+t-1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|