定义：对于函数f，x∈M⊆R，若f＜f'对定义域内的x恒成立，则称函数f为ϕ函数．证明：函数f=ex1nx为ϕ函数．对

题文

定义：对于函数f（x），x∈M⊆R，若f（x）＜f'（x）对定义域内的x恒成立，则称函数f（x）为ϕ函数．
（Ⅰ）证明：函数f（x）=e^x1nx为ϕ函数．
（Ⅱ）对于定义域为（0，+∞）的ϕ函数f（x），求证：对于定义域内的任意正数x₁，x₂，…，x_n，均在f（1n（x₁+x₂+…+x_n））＞f（1nx₁）+f（1nx₂）．+…+f（1nx_n） 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（Ⅰ）∵f（x）=e^xlnx，
∴f′(x)=exlnx+exx，
因为x＞0，
所以exx＞0，
所以f'（x）＞f（x）
所以函数f（x）=e^x1nx为ϕ函数．…（6分）
（Ⅱ）构造函数g(x)=f(x)ex，g′(x)=f′(x)-f(x)ex＞0，
即g（x）在R上递增，…（8分）
所以g（ln（x₁+x₂+…x_n））＞g（lnx₁），g（lnx₁），g（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞g（lnx₂），…，g（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞g（lnx_n）
得到x1f(ln(x1+x2+…+xn))x1+x2+…+xn＞f(lnx1)x2f(ln(x1+x2+…+xn))x1+x2+…+xn＞f(lnx2)
…xnf(ln(x1+x2+…+xn))x1+x2+…+xn＞f(lnxn)
相加后，得到：f（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞f（lnx₁）+f（lnx₂）+…+f（lnx_n）．…（12分）

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解析

exx

考点

据考高分专家说，试题“定义：对于函数f（x），x∈M⊆R，若f.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|