题文
已知函数f(x)=a×2x-11+2x(a∈R)．（I）若f（x）为奇函数，求a的值；
（III）当a=5时，函数f（x）的图象是否存在对称中心，若存在，求其对称中心；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）函数f(x)=a×2x-11+2x(a∈R)，有1+2x＞1恒成立，则f（x）的定义域为R，
又由函数f（x）为奇函数，可得f（0）=0，
则f（0）=a×20-11+20=0，解可得a=1，
此时f（x）=2x-11+2x；
（Ⅱ）当a=5时，f（x）=5×2x-11+2x=5-61+2x，
假设f（x）的图象存在对称中心，且其对称中心的坐标为（h，k），
则对于任意的x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，
10-6（11+2h+x+11+2h-x）=2k恒成立，
整理可得（4-2k）×2h+x+（4-2k）×2h-x+[（10-2k）×22h-2-2k]=0恒成立，
于是有4-2k=0(10-2k)×22h-2-2k=0，解可得h=0，k=2，
故当a=5时，函数f（x）的图象存在对称中心，且其对称中心为（0，2）．
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解析
a×2x-11+2x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=a×2x-11+2x(.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
