题文
已知函数f(x)=(xa-1)2+(bx-1)2，x∈D，其中0＜a＜b．（1）当D=（0，+∞）时，设t=xa+bx，f（x）=g（t），求y=g（t）的解析式及定义域；
（2）当D=（0，+∞），a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（3）设k＞0，当a=k2，b=（k+1）2时，1≤f（x）≤9对任意x∈[a，b]恒成立，求k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵t=xa+bx，0＜a＜b，x＞0，∴t≥2ba=2aba，
又f（x）=(xa-1)2+(bx-1)2=(xa+bx-1)2+1-2ba，f（x）=g（t），
∴g（t）=（t-1）2+1-2ba，t∈[2aba，+∞）；
（2）∵x＞0，a=1，b=2，
∴f（x）=(x+2x-1)2-3，又x+2x-1≥22-1（当且仅当x=2时取“=”）
∴f（x）≥(22-1)2-3=6-42，
∴f（x）min=6-42．
（3）由题意可得，x∈[a，b]=[k2，（k+1）2]，1≤f（x）≤9恒成立，
∴只需求得x∈[k2，（k+1）2]时f（x）的最小值即可．
∵此时，f（x）=[xk2+(k+1)x2-1]2+1-2(k+1)2k2，
∵k＞0，x＞0，令g（x）=xk2+(k+1)2x=1k2（x+k2(k+1)2x）
由双钩函数y=h（x）=x+ax（a＞0）的性质h（x）在（0，a]单调递减，在[a，+∞）单调递增得：
g（x）在[k2，k（k+1）]上单调递减，在[k（k+1），（k+1）2]单调递增
∴当x=k（k+1）时g（x）取到最小值；
当x=k2时，g（k2）=2+2k+1k2；
当x=（k+1）2时，g（（k+1）2）=2+2k+1k2=g（k2），即当x=k2或（k+1）2时g（x）取到最大值；
∴g（x）min=2(k+1)k，g（x）max=2+2k+1k2；
由题意可知，当g（x）取到最小值时，f（x）取到最小值，g（x）取到最大值时，f（x）亦取到最大值．
∴f（x）min=[2(k+1)k-1]2+1-2(k+1)2k2=2k2；
同理可求，f（x）max=[(k+1)2k2-1]2=(2k+1k2)2．
∵1≤f（x）≤9对任意x∈[k2，（k+1）2]恒成立，
∴2k2≥1(2k+1k2)2≤9，而k＞0，
∴0＜k≤2．
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解析
xa考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=(xa-1)2+(bx.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
