题文
已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）为R上奇函数，且在x=33处取得极值-239．记函数图象为曲线C．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）设曲线C与其在点P1（1，f（1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），线段P1P2与曲线C所围成封闭图形的面积记为S1，求S1的值；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，设曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积记为S2，…，按此方法依次做下去，即设曲线C与其在点Pn（xn，f（xn））处的切线交于另一点Pn+1（xn+1，f（xn+1）），线段PnPn+1与曲线C所围成封闭图形的面积记为Sn，试求Sn关于n的表达式． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）∵三次函数为R上奇函数，∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）即d=0且-a+b-c=-a-b-c
∴b=d=0
即f（x）=ax3+cx，f′（x）=3ax2+c，又f（x）=ax3+cx在x=33处取得极值-239，
∴f(33)=-239f′(33)=0即a(33) 3+c(33)=- 2393a(33) 2+c=0
得a=1，c=-1，∴f（x）=x3-x
（Ⅱ）∵f′（x）=3x2-1，f（1）=0，f′（1）=2，
∴曲线C在点P1处的切线方程为y=2（x-1）
由y=2(x-1)y=x3-x解得x1=1，x2=-2，
∴S1=|∫1-2x3-x-2(x-1)dx|=|（14x4 -32x2+2x）|1-2|=274
（Ⅲ）f（x）在Pn（xn，f（xn））的切线：
y-（xn3-xn）=（3xn2-1）（x-xn）即y=（3xn2-1）x-2xn3
由y=(3xn2-1)x-2xn3y=x3-x解得x=xn或x=-2xn，
∴Pn+1（-2xn，f（-2xn）），xn+1=-2xn，
Sn=|∫-2xnxnx3-x-[（3xn2-1）x-2xn3]dx|=|（14x4 -32xn2x2+2xn3x）|-2xnxn|=274xn4
同理得Sn+1=274xn+14，又xn+1=-2xn≠0，∴Sn+1Sn=(xn+1xn)4=16，又S1=274
∴Sn=274•16n-1=2764•16n n∈N*．
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解析
33考点
据考高分专家说，试题“已知三次函数f（x）=ax3+bx2+c.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
