题文
已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2）．（Ⅰ）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当m∈R时，试比较f（m-1）与f（3-m）的大小；
（Ⅲ）求最小的整数m（m≥-2），使得存在实数t，对任意的x∈[m，10]，都有f（x+t）≤2ln|x+3|． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）当x＜0时，-x＞0，∵f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2）
∴f（x）=f（-x）=ln（-x+2）…（3分）
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）=ln（x+2）单调递增，而f（x）是偶函数，所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以f（m-1）＞f（3-m）
所以|m-1|＞|3-m|
所以（m-1）2＞（3-m）2
所以m＞2…（6分）
所以当m＞2时，f（m-1）＞f（3-m）；当m=2时，f（m-1）=f（3-m）；当m＜2时，f（m-1）＜f（3-m）…（8分）
（Ⅲ）当x∈R时，f（x）=ln（|x|+2），则由f（x+t）≤2ln|x+3|，得ln（|x+t|+2）≤ln（x+3）2，
即|x+t|+2≤（x+3）2对x∈[m，10]恒成立…（12分）
从而有t≤x2+5x+7t≥-x2-7x-7对x∈[m，10]恒成立，因为m≥-2，
所以t≤(x2+5x+7)min=m2+5m+7t≥(-x2-7x-7)max=-m2-7m-7…（14分）
因为存在这样的t，所以-m2-7m-7≤m2+5m+7，即m2+6m+7≥0…（15分）
又m≥-2，所以适合题意的最小整数m=-1…（16分）
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解析
t≤x2+5x+7t≥-x2-7x-7考点
据考高分专家说，试题“已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
