已知函数f=x2+2ax+1，f′是f的导函数．若x∈[-2，-1]，不等式f≤f′恒成立，求a的取值范围；

题文

已知函数f（x）=x²+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．
（1）若x∈[-2，-1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；
（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；
（3）设函数g(x)=f′(x)，f(x)≥f′(x)f(x)，f(x)＜f′(x)，求g（x）在x∈[2，4]时的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为f（x）≤f'（x），所以x²-2x+1≤2a（1-x），
又因为-2≤x≤-1，所以a≥x2-2x+12(1-x)在x∈[-2，-1]时恒成立，
因为x2-2x+12(1-x)=1-x2≤32，所以a≥32．…（4分）
（2）因为f（x）=|f'（x）|，所以x²+2ax+1=2|x+a|，
所以（x+a）²-2|x+a|+1-a²=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1-a． …（7分）
①当a＜-1时，|x+a|=1-a，所以a＞b＞c或x=1-2a；
②当-1≤a≤1时，|x+a|=1-a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1-2a或x=-（1+2a）；
③当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=-（1+2a）．…（10分）
（3）因为f（x）-f'（x）=（x-1）[x-（1-2a）]，g(x)=f′(x)，f(x)≥f′(x)f(x)，f(x)＜f′(x)
①若a≥-12，则x∈[2，4]时，f（x）≥f'（x），所以g（x）=f'（x）=2x+2a，
从而g（x）的最小值为g（2）=2a+4；            …（12分）
②若a＜-32，则x∈[2，4]时，f（x）＜f'（x），所以g（x）=f（x）=x²+2ax+1，
当-2≤a＜-32时，g（x）的最小值为g（2）=4a+5，
当-4＜a＜-2时，g（x）的最小值为g（-a）=1-a²，
当a≤-4时，g（x）的最小值为g（4）=8a+17．…（14分）
③若-32≤a＜-12，则x∈[2，4]时，g(x)=x2+2ax+1，x∈[2，1-2a)2x+2a，x∈[1-2a，4]
当x∈[2，1-2a）时，g（x）最小值为g（2）=4a+5；
当x∈[1-2a，4]时，g（x）最小值为g（1-2a）=2-2a．
因为-32≤a＜-12，（4a+5）-（2-2a）=6a+3＜0，
所以g（x）最小值为4a+5．
综上所述，[g(x)]min=8a+17，a≤-41-a2，-4＜a＜-24a+5，-2≤a＜-122a+4，a≥-12…（16分）

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解析

x2-2x+12(1-x)

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|