题文
将奇函数的图象关于原点（即（0，0））对称这一性质进行拓广，有下面的结论：①函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称．
②函数y=f（x）满足F（x）=f（x+a）-f（a）为奇函数的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，f（a））成中心对称（注：若a不属于x的定义域时，则f（a）不存在）．
利用上述结论完成下列各题：
（1）写出函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标，并加以证明．
（2）已知m（m≠-1）为实数，试问函数f(x)=x+mx-1的图象是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由．
（3）若函数f(x)=(x-23)(|x+t|+|x-3|)-4的图象关于点(23，f(23))成中心对称，求t的值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标为(kπ2，0)（k∈N*）． …（2分）当k=2n（n∈N*）时，tan(kπ2+x)+tan(kπ2-x)=tanx-tanx=0；
当k=2n+1（n∈N*）时，tan(kπ2+x)+tan(kπ2-x)=-cotx+cotx=0，得证． …（6分）
（2）由f(x)=x+mx-1=1+m+1x-1，得f（x）的图象的对称中心的坐标为（1，1）．…（9分）f(x+1)+f(1-x)=x+1+mx+1-1+1-x+m1-x-1=x+1+mx+-x+1+m-x=2，由结论①得，对实数m（m≠-1），函数f(x)=x+mx-1的图象关于点（1，1）成中心对称． …（12分）
（3）由结论②F(x)=f(x+23)-f(23)=x(|x+23+t|+|x-73|)为奇函数，…（14分）
其中g（x）=x为奇函数，故h(x)=|x+23+t|+|x-73|为偶函数
于是，由h（x）=h（-x）可得|x+23+t|+|x-73|=|x-(23+t)|+|x+73|，…（16分）
因此，23+t=73，解得t=53为所求． …（18分）
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解析
kπ2考点
据考高分专家说，试题“将奇函数的图象关于原点（即（0，0））对.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
