在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n．设bn=an2n-1，证明：数列{bn}是等差数列；设数列{an}的前n项和为Sn，

题文

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（1）设bn=an2n-1（n∈N^*），证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求limn→∞Snn•2n+1的值；
（3）设c_n=2b_n-1，数列{c_n}的前n项和为T_n，dn=Tn4a2n-Tn，是否存在实数t，使得对任意的正整数n和实数m∈[1，2]，都有d₁+d₂+d₃+…+d_n≥log₈（2m+t）成立？请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n+1=2a_n+2ⁿ，an+12n=an2n-1+1，（2分）
b_n+1=b_n+1，故{b_n}为等差数列，b₁=1，b_n=n．（4分）
（2）由（1）可得a_n=n2^n-1（6分）
S_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+n•2^n-1
2S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
两式相减，得-S_n=2⁰+2¹+2²+2^n-1-n•2ⁿ=2ⁿ-1-n•2ⁿ，即S_n=（n-1）2ⁿ+1（8分）
∴limn→∞Snn•2n+1=limn→∞(n-1)2n+1n•2n+1=12（10分）
（3）由（1）可得T_n=n²，（12分）
∴dn=Tn4a2n-Tn=14n-1，(d1+d2+d3++dn+dn+1)-(d1+d2+d3++dn)=dn+1=14n+1-1＞0
∴{d₁+d₂+d₃++d_n}单调递增，即d1+d2+d3++dn≥d1=13，（14分）
要使d₁+d₂+d₃++d_n≥log₈（2m+t）对任意正整数n成立，
必须且只需13≥log8(2m+t)，即0＜2m+t≤2对任意m∈[1，2]恒成立．（16分）
∴[2+t，4+t]⊆（0，2]，即2+t＞04+t≤2⇒-2＜t≤-2矛盾．
∴满足条件的实数t不存在．

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解析

an+12n

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=1，an+1=2.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|