题文
设定义在R上的函数f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，a0，a1，a2，a3，a4∈R，当x=-1时，f（x）取得极大值23，且函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称．（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）在函数y=f（x）的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在[-2，2]上？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设xn=2n-12n， ym=2(1-3m)3m(m，n∈N*)，求证：|f(xn)-f(ym)|＜43． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）将y=f（x+1）的图象向右平移1个单位，得到y=f（x）的图象，所以y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即y=f（x）是奇函数，
所以f（x）=a1x3+a3x，由题意，得f′(-1)=3a1+a3=0f(-1)=-a1-a3=23⇒a1=13a3=-1.所以f(x)=13x3-x．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=x2-1，
假设存在两切点为(x1，f(x1))，(x2，f(x2)) (x1，x2∈[-2，2])，
则f'（x1）•f'（x2）=（x12-1）（x22-1）=-1．因为（x12-1）、（x22-1）∈[-1，1]
所以x21-1=-1x22-1=1或x21-1=1x22-1=-1.即x1=0x2=±2或x1=±2x2=0
从而可得所求两点的坐标分别为(0，0)，(2，-23)或(0，0)，(-2，23)．
（Ⅲ）因为当x∈[12，1)时，f'（x）＜0，所以f（x）在[12，1)递减．
由已知得xn∈[12，1)，
所以f(xn)∈(f(1)，f(12)]，即f(xn)∈(-23，-1124]．
注意到x＜-1时，f′（x）＞0，-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
故f（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，1）上递减，
由于ym=23m-2，
所以ym∈(-2，-223]．
因为-2＜-1＜-223，
所以f(ym)∈(f(-2)，f(-1)]，
即f(ym)∈(23，23]．
所以|f(xn)-f(ym)|=f(ym)-f(xn)＜23-(-23)=43．
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解析
f′(-1)=3a1+a3=0f(-1)=-a1-a3=23考点
据考高分专家说，试题“设定义在R上的函数f（x）=a0x4+a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
