题文
已知二次函数y=ax2+(b+23)x+c+3是偶函数且图象经过坐标原点，记函数f(x)=x•(ax2+bx+c)．（I）求b、c的值；
（II）当a=15时，求函数f（x）的单调区间；
（III）试讨论函数f（x）的图象上垂直于y轴的切线的存在情况． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）∵y=ax2+(b+23)x+c+3是偶函数，∴-b+232a=0，b=-23
又∵图象过原点，
∴c=-3
（II）当a=15时，
f′(x)=12x(15x2-23x-3)+x(25x-23)=12x(x2-2x-3)
令f′（x）＞0得函数单调递增区间是（3，+∞），
令f′（x）＜0得函数单调递减区间是（0，3），
（III）∵函数f（x）的图象上垂直于y轴的切线，
∴方程f′（x）=0存在正根，
f′(x)=12x(ax2-23x-3)+x(2ax-23)=12x(5ax2-2x-3)
即5ax2-2x-3=0存在正根，△=4（1+15a）
①当a＜-115时，△＜0，方程5ax2-2x-3=0无实数根，
此时函数f（x）的图象上没有垂直于y轴的切线
②当a=-115时，△=0，方程5ax2-2x-3=0根为x=-3，
此时函数f（x）的图象上存在一条垂直于y轴的切线
③当-115＜a＜0时，△＞0，方程5ax2-2x-3=0有两个实数根x1，x2，x1+x2=2a＜0，x1x2=-3a＞0，方程5ax2-2x-3=0有两个负实数根
此时函数f（x）的图象上没有垂直于y轴的切线
④a＞0时，△＞0，方程5ax2-2x-3=0有两个实数根x1，x2x1+x2=2a＞0，x1x2=-3a＜0，方程5ax2-2x-3=0有两一个正实数根和一个负实数根，此时函数f（x）的图象上存在一条垂直于y轴的切线
综上：
当a＜-115或-115＜a＜0时，不存在垂直于y轴的切线
当a=-115或a＞0时，存在一条垂直于y轴的切线
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解析
23考点
据考高分专家说，试题“已知二次函数y=ax2+(b+23)x+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
