已知定义在R上的单调函数f，存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f=f+f+f恒成立．求x0

题文

已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x₀，使得对于任意实数x₁，x₂，总有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x₀的值；
（2）若f（x₀）=1，且对于任意正整数n，有an=1f(n)，bn=f(12n)+1，记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，比较43Sn与T_n的大小关系，并给出证明；
（3）在（2）的条件下，若不等式an+1+an+2+…+a2n＞435[log12(x+1)-log12(9x2-1)+1]对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x₁=x₂=0⇒f（x₀）=-f（0）．又令x₁=1，x₂=0，f（1）=-f（0）．
∴f（x₀）=f（1），由函数f（x）单调性知，x₀=1．
（2）由（1）知，f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+f（1）=f（x₁）+f（x₂）+1，
由x₁，x₂的任意性，令x₁=n，x₂=1，f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2，
∴f（n）=2n-1．（n∈N^*）．
∴an=12n-1．
又∵f(1)=f(12+12)=f(12)+f(12)+f(1)⇒f(12)=0⇒b1=f(12)+1=1．
又∵f(12n)=f(12n+1+12n+1)=2f(12n+1)+1，
∴2bn+1=2f(12n+1)+2=f(12n)+1=bn．
∴bn=(12)n-1．
由数列求和方法知：Sn=12(1-12n+1)，Tn=23[1-(14)n]．∴43Sn-Tn=23[(14)n-12n+1]．
∵4ⁿ=（3+1）ⁿ=C_nⁿ3ⁿ+C_n^n-13^n-1+…+C_n¹3+C_n⁰≥3n+1＞2n+1，∴43Sn＜Tn．
（3）令F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n⇒F（n+1）-F（n）=a_2n+1+a_2n+2-a_n+1=14n+1+14n+3-12n+1＞0（通分易证）∴当n≥2时，F(n)＞F(n-1)＞…＞F(2)=a3+a4=1235．
∴1235＞435[log12(x+1)-log12(9x2-1)+1]⇒log12(x+1)-log12(9x2-1)＜2．
解此不等式，所以x的取值范围为(-59，-13)∪(13，1)．

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解析

12n-1

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的单调函数f（x），存在实.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|