已知函数f是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f=2x3+mx2+x．当m=2时，求f的解析式；设曲线y=f在x=

题文

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x³+mx²+（1-m）x．
（I）当m=2时，求f（x）的解析式；
（II）设曲线y=f（x）在x=x₀处的切线斜率为k，且对于任意的x₀∈[-1，1]-1≤k≤9，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．
当x＞0时，f（x）=2x³+mx²+（1-m）x．
当x＜0时，∵f（x）=-f（-x）∴f（x）=-（-2x³+mx²-（1-m）x）=2x³-mx²+（1-m）x∴f(x)=2x3+mx2+(1-m)x(x≥0)2x3-mx2+(1-m)x(x＜0)．
当m=2时，∴f(x)=2x3+2x2-x，(x≥0)2x3-2x2-x(x＜0)
（Ⅱ）由（I）得：∴f′(x)=6x2+2mx+(1-m)，(x≥0)6x2-2mx+(1-m)，(x＜0)
曲线y=f（x）在x=x₀处的切线斜率，对任意的x₀∈[-1，1]，总能不小于-1且不大于9，
则在任意x₀∈[-1，1]时，-1≤f'（x）≤9恒成立，
∵f'（x）是偶函数
∴对任意x₀∈（0，1]时，-1≤f'（x₀）≤9恒成立
1⁰当-m6≤0时，由题意得f′(0)≥-1f′(1)≤9
∴0≤m≤2
2⁰当0＜-m6≤1时
∴f′(-m6) ≥-1f′(0)≤9f′(0)≤9
∴-6≤m＜0
3⁰当-m6＞1时∴f′(0)≤9f′(1)≥-1
∴-8≤m＜-6
综上：-8≤m≤2
∴实数m的取值范围是{m|-8≤m≤2}．

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解析

2x3+mx2+(1-m)x(x≥0)2x3-mx2+(1-m)x(x＜0)

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|