已知f(x)=x2-6x-3x+1，g=x3-3a2x-2a，且它们定义域均为[0，1]求函数f的最小值；判断函数g的单

题文

已知f(x)=x2-6x-3x+1，g（x）=x³-3a²x-2a（a≥1），且它们定义域均为[0，1]
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）判断函数g（x）的单调性并予以证明；
（3）若对任意t∈[0，1]，总有g（x）≤f（t）在x∈[0，1]时恒成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，f/(x)= x2+2x-3(x+1)2
令f/(x)=x2+2x-3(x+1)2=0得x=-3或x=1
∵函数定义域为[0，1]
∴x=1时，函数f（x）的最小值-4；
（2）g′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a）
∵函数定义域为[0，1]，a≥1
∴函数g（x）的单调减区间是[0，1]，
（3）由（1）知，函数f（x）的最小值为-4，所以问题等价为 x³-3a²x-2a≤-4（a≥1），在x∈[0，1]时恒成立  
由（2）知，x=0时，函数g（x）取得最大值，所以-2a≤-4，故a≥2．

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解析

x2+2x-3(x+1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=x2-6x-3x+1，g（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|