设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N*，b，c∈R)．当n=2，b=1，c=-1时，求函数fn在区间(12，1)内的零点；设n≥2，b=1

题文

设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N*，b，c∈R)．
（1）当n=2，b=1，c=-1时，求函数f_n（x）在区间(12，1)内的零点；
（2）设n≥2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间(12，1)内存在唯一的零点；
（3）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f2(x)=x2+x-1，
令f₂（x）=0，得x=-1±52，
所以f₂（x）在区间（12，1）内的零点是x=-1+52．
（2）证明：因为 fn(12)＜0，f_n（1）＞0．
所以fn(12)•f_n（1）＜0．
所以f_n（x）在(12，1)内存在零点．
任取x₁，x₂∈（12，1），且x₁＜x₂，
则f_n（x₁）-f_n（x₂）=（x1n-x2n）+（x₁-x₂）＜0，
所以f_n（x）在(12，1)内单调递增，
所以f_n（x）在(12，1)内存在唯一零点．
（3）当n=2时，f₂（x）=x²+bx+c．
对任意x₁，x₂∈[-1，1]都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，
等价于f₂（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4．
据此分类讨论如下：
①当|b2|＞1，即|b|＞2时，M=|f₂（1）-f₂（-1）|=2|b|＞4，与题设矛盾．
②当-1≤-b2＜0，即0＜b≤2时，M=f₂（1）-f₂（-b2）=（b2+1）²≤4恒成立．
③当0≤-b2≤1，即-2≤b≤0时，M=f₂（-1）-f₂（-b2）=（b2-1）²≤4恒成立．
综上可知，-2≤b≤2．

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解析

-1±52

考点

据考高分专家说，试题“设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|