题文
已知函数f（x）=xex．（I）求f（x）的单调区间与极值；
（II）是否存在实数a使得对于任意的x1，x2∈（a，+∞），且x1＜x2，恒有f(x2)-f(a)x2-a＞f(x1) -f(a)x1-a成立？若存在，求a的范围，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）由f′（x）=e（x+1）=0，得x=-1；当变化时的变化情况如下表：可知f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），递增区间为（-1，+∞），
f（x）有极小值为f（-1）=-1e，但没有极大值．
（II）令g（x）=[f（x）-f（a）]/（x-a）=（xex-aea）/（x-a），x＞a，
则[f（x2）-f（a）]/（x2-a）＞[f（x1）-f（a）]/（x1-a）恒成立，
即g（x）在（a，+∞）内单调递增这只需g′（x）＞0．而g′（x）=[ex（x2-ax-a）+aea]/（x-a）2
记h（x）=ex（x2-ax-a）+aea，
则h′（x）=ex[x2+（2-a）x-2a]=ex（x+2）（x-a）
故当a≥-2，且x＞a时，h′（x）＞0，h（x）在[a，+∞）上单调递增．
故h（x）＞h（a）=0，从而g′（x）＞0，不等式（*）恒成立
另一方面，当a＜-2，且a＜x＜-2时，h′（x）＜0，h（x）在[a，-2]上单调递减又h（a）=0，所以h（x）＜0，
即g′（x）＜0，g′（x）在（a，-2）上单调递减．
从而存在x1x2，a＜x1＜x2＜-2，使得g（x2）＜g（x1）
∴a存在，其取值范围为[-2，+∞）
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解析
1e考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=xex．（I）求f（x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
