已知函数f=x2+2x+alnx．求函数f在点）处的切线方程；若函数f在区间（0，2]上恒为单调函数，求实数a的取值

题文

已知函数f（x）=x²+2x+alnx．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间（0，2]上恒为单调函数，求实数a的取值范围；
（3）当t≥1时，不等式f（3t-2）≥3f（t）-6恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意得，f′(x)=2x+2+ax，
∴f′（1）=4+a，且f（1）=3，
∴过点（1，f（1））的切线方程为y-3=（4+a）（x-1），
即（4+a）x-y-a-1=0，
（2）由f（x）在区间（0，2]上恒为单调函数得，
当f（x）在区间（0，2]上恒为单调增时，
∴f′(x)=2x+2+ax≥0在（0，2]恒成立，
即2x²+2x+a≥0，∴-a≤2x²+2x，
∵2x²+2x在（0，2]上最小值为0，
∴-a≤0，即a≥0，
当f（x）在区间（0，2]上恒为单调减时，
∴f′(x)=2x+2+ax≤0在（0，2]恒成立，
即2x²+2x+a≤0，∴-a≥2x²+2x，
∵2x²+2x在（0，2]上最小值为12，
∴-a≥12，即a≤-12．
综上得，实数a的取值范围是a≥0或a≤-12．     
（3）由题意令：h（t）=f（3t-2）-[3f（t）-6]（t≥1），
又∵h′(t)=3[f′(3t-2)-f′(t)]=6(t-1)[2-at(3t-2)]（t≥1），
∵t≥1，∴t（3t-2）≥1．
1°当a≤2时，2-at(3t-2)≥0，h′（t）≥0（等号不恒成立），
∴h（t）在[1，+∞）上为增函数，
且h（1）=f（1）-[3f（1）-6]=3-3=0，
则h（t）≥h（1）对任意的t∈[1，+∞）恒成立．
2°当a＞2时，
h′(t)=6(t-1)(6t2-4t-a)t(3t-2)=36(t-1)(t-1-1+9a3)(t-1+1+9a3)t(3t-2)，
∵1-1+9a3＜1＜1+1+9a3，
∴当t∈(1，1+1+9a3)时，h′（t）＜0，
h（t）在(1，1+1+9a3)上为减函数，
则h（t）＜h（1）=0，不合题意，舍去．
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，2]．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+2x+alnx．.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|