题文
【解析图片】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意实数x，均有x-1≤f（x）≤x2-3x+3恒成立．（1）求f（x）的表达式；
（2）若关于x的不等式f（x）≤nx-1的解集非空，求实数n的取值的集合A．
（3）若关于x的方程f（x）=nx-1的两根为x1，x2，试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≤|x1-x2|对任意n∈A及t∈[-3，3]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由x-1=x2-3x+3可得x=2，故由题可知1≤f（2）≤1，
从而f（2）=1．
因此a-b+c=04a+2b+c=1，
故b=13-a，c=13-2a．由x-1≤f（x）
得ax2-（23+a）x+43-2a≥0对x∈R恒成立，
故△=（23+a）2-4a（43-2a）≤0，
即9a2-4a+49≤0，
解得a=29，
故f（x）=29x2+x9-19
（2）由29x2+x9-19≤nx-1
得2x2+（1-9n）x+8≤0，
故△=（1-9n）2-64≥0，
解得n≤-79或n≥1，从而A=（-∞，-]79∪[1，+∞）
（3）显然|x1-x2|≥0，当且仅当n=-79或n=1时取得等号，
故m2+tm+1≤0对t∈[-3，3]恒成立．记g（t）=m•t+（m2+1），
则有g(-3)=m2-3m+1≤0g(3)=m2+3m+1≤0，
即3-52≤m≤3+52-3-52≤ m≤-3+52，
故m∈∅，不存在这样的实数m
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解析
a-b+c=04a+2b+c=1考点
据考高分专家说，试题“【解析图片】设二次函数f（x）=ax2+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
