题文
已知函数f（x）=x3-3a|x-1|，（1）当a=1时，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在[0，+∞）内的最小值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当a=1时，f（x）=x3-3|x-1|，（2分）此时f（1）=1，f（-1）=-7，f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），∴f（x）是非奇非偶函数．（5分）
（2）当0≤x＜1时，f（x）=x3-3a（1-x）=x3+3ax-3a，
当x≥1时，f（x）=x3-3a（x-1）=x3-3ax+3a
∴f(x)=x3+3ax-3a (0≤x＜1)& x3-3ax+3a (x≥1)& ，（7分）
（i）当0≤x＜1时，f'（x）=3x2+3a，由于a＞0，故f'（x）＞0，∴f（x）在[0，1）内单调递增，此时[f（x）]min=f（0）=-3a（9分）
（ii）当x≥1时，f′(x)=3x2-3a=3(x2-a)=3(x-a)(x+a)，
令f'（x）=0，可得两极值点x=-a或x=a，
①若0＜a≤1，则a≤1，可得f（x）在[1，+∞）内单调递增，
结合（i）、（ii）可得此时[f（x）]min=f（0）=-3a（11分）
②若a＞1，则a＞1，可得f（x）在[1，a)内单调递减，(a，+∞)内单调递增，
∴f（x）在[1，+∞）内有极小值f(a)=(a)3-3aa+3a=-2aa+3a，
此时[f(x)]min=min{f(0)，f(a)}
而f(a)-f(0)=-2aa+3a-(-3a)=-2aa+6a=-2a(a-3)
可得1＜a≤9时，f(a)≥f(0)，a＞9时，f(a)＜f(0)（14分）
∴综合①②可得，当0＜a≤9时，[f（x）]min=f（0）=-3a，
当a＞9时，[f(x)]min=f(a)=-2aa+3a（15分）
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解析
x3+3ax-3a (0≤x＜1)& x3-3ax+3a (x≥1)&考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3-3a|x-1|，.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
