已知函数f=-x3+x2，g=alnx，a∈R．若对任意x∈[1，e]，都有g≥-x2+x恒成立，求a的取值范围；设F（

题文

已知函数f（x）=-x³+x²，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求a的取值范围；
（2）设F（x）=f(x)，x＜1g(x)，x≥1若P是曲线y=F（x）上异于原点O的任意一点，在曲线y=F（x）上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，得（x-lnx）a≤x²-2x，．
由于x∈[1，e]，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx＜x，x-lnx＞0．
从而a≤x2-2xx-lnx恒成立，a≤（x2-2xx-lnx）_min． …（4分）
设t（x）=x2-2xx-lnx，x∈[1，e]，
求导，得t′（x）=(x-1)(x+2-lnx)(x-lnx)2．…（6分）
x∈[1，e]，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，
从而t′（x）≥0，t（x）在[1，e]上为增函数．
所以t（x）_min=t（1）=-1，所以a≤-1．…（8分）
（2）F（x）=-x3+x2，x＜1alnx，   x≥1，
设P（t，F（t））为曲线y=F（x）上的任意一点．
假设曲线y=F（x）上存在一点Q（-t，F（-t）），使∠POQ为钝角，
则OP•OQ＜0，
若t≤-1，P（t，-t³+t2），Q（-t，aln（-t）），
OP•OQ=-t²+aln（-t）（-t³+t²），
由于OP•OQ＜0恒成立，a（1-t）ln（-t）＜1．
当t=-1时，a（1-t）ln（-t）＜1．恒成立．
当t＜-1时，a＜1(1-t)ln(-t)恒成立．由于1(1-t)ln(-t)＞0，所以a≤0．（12分）
若-1＜t＜1，t≠0，P（t，-t³+t²），Q（-t，t³+t²），
则OP•OQ=-t²+（-t³+t²）（t³+t²）＜0，
t⁴-t²+1＞0对-1＜t＜1，t≠0恒成立．…（14分）
③当t≥1时，同①可得a≤0．
综上所述，a的取值范围是（-∞，0]．  …（16分）

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解析

x2-2xx-lnx

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|