题文
已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)= ( 1e)x+2，x≤-1f(x-1)，-1＜x≤0，若f （x）≥x+a“对于任意x∈R恒成立，则常数a的取值范围是（ ） A．(-∞， 1e-2)B．（-∞，-2]C．(-∞， 1e-1]D．（-∞，-1] 题型：未知 难度：其他题型答案
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解析
①当x≤-1时，f （x）≥x+a即( 1e)x+2≥x+a，也即( 1e)x+2-x≥a，而( 1e)x+2-x递减，所以( 1e)x+2-x的最小值为 1e+1，
此时，a≤ 1e+1；
②当-1＜x≤0时，f （x）=f（x-1）=( 1e)x+1≥x+a，即为( 1e)x+1-x≥a，
而( 1e)x+1-x递减，所以( 1e)x+1-x的最小值为 1e，
此时，a≤ 1e；
③当x≥1时，-x≤-1，
因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x）=( 1e)-x+2≥x+a，即( 1e)-x+2-x≥a，
令g（x）=( 1e)-x+2-x，g′（x）=ex-2-1，
当1≤x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）递增；
所以x=2时g（x）取得最小值，此时，a≤g（2）=-1；
④当0≤x＜1时，-2＜-x-1≤-1，f（x）=f（-x）=f（-x-1）=( 1e)-x+1≥x+a，即( 1e)-x+1-x≥a，
令h（x）=( 1e)-x+1-x，h′（x）=ex-1-1＜0，h（x）递减，
所以h（x）＞h（1）=0，此时a≤0；
综上，要使f （x）≥x+a“对于任意x∈R恒成立，a的取值范围为a≤-1，
故选D．
考点
据考高分专家说，试题“已知f（x）是定义在R上的偶函数，.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
