对于数列{an}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N*，都有：an+T=an成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列．记Sn=a1+a

题文

对于数列{a_n}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N^*，都有：a_n+T=a_n成立，则称数列{a_n}是以T为周期的周期数列．
（1）记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，若{a_n}满足a_n+2=a_n+1-a_n，且S₂=1007，S₃=2010，求证：数列{a_n}是以6为周期的周期数列，并求S₂₀₀₉；
（2）若{a_n}满足a1=p∈[0， 12)，且a_n+1=-2a_n²+2a_n，试判断{a_n}是否为周期数列，且说明理由；
（3）由（1）得数列{a_n}，又设数列{b_n}，其中bn=an+2n+20092n，问是否存在最小的自然数n（n∈N^*），使得对一切自然数m≥n，都有b_m＞2009？请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n+6=a_n+5-a_n-4=a_n+4-a_n+3-a_n-4
=-a_n+3=-a_n+2+a_n+1=-（a_n+1-a_n）+a_n+1=a_n，
得T=6
所以，数列{a_n}是以6为周期的周期数列，
周期为任意正整数--（2分）
又由 an+2=an+1-anS2=1007S3=2010，
得a₁=2，a₂=1005，a₃=1003，a₄=-2，a₅=-1005，a₆=-1003S₆=0，
且数列{a_n}是以6为周期的周期数列，
所以，S_6n=0，
所以 S₂₀₀₉=S₅=a₃=1003--（3分）
（2）当p=0时，a₁=a₂=0，a_n+1=-2a_n²+2a_n=0，
即{a_n}是周期数列--（5分）
当p≠0，p∈(0，12)时，
an+1=-2a2n+2an═-2(an-12)2+12∈(0，12)
由已知a1=p∈[0， 12)，
且a_n+1=-2a_n²+2a_n，
可得a2∈[0，12)，
依此类推可得a_∈[0，12)（n∈N^*）
所以 a_n+1-a_n=-2a_n²+a_n=a_n（1-2a_n）＞0，所以a_n+1＞a_n
即数列{a_n}是递增数列，非周期数列；--（8分）
（3）由（1）知，S₂=a₁+a₂=a₁+1005=1007，
所以a₁=2，a₂=1005，a₃=1003，a₄=-2，a₅=-1005，a₆=-1003，
且数列{a_n}是周期为6的周期数列，
所以（a_n）_max=1005（n∈N^*），（a_n）_min=-1005，
且 a_6n+1=2，a_6n+2=1003，a_6n+3=1005，a_6n+4=-2，
a_6n+5=-1005，a_6n+6=-1003，--（9分）
而当n≥12时，20092n∈(0，12)，
bn=an+2n+20092n≥2n-1005+20092n＞2009，
即2n≥2009+1005=30142n+20092n≥1004，
得n≥1507，即 n≥1507时，
都有b_n＞2009；--（12分）
又b1506=a1506+2×1506+200921506=2009+200921506＞2009b1505=a1505+2×1505+200921505=2007+200921506＜2009--（13分）
综上，存在最小的自然数n=1506，
对一切自然数m，当m≥n=1506，
都有b_m＞2009．--（14分）

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解析

an+2=an+1-anS2=1007S3=2010

考点

据考高分专家说，试题“对于数列{an}，若存在确定的自然数T＞.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|