定义在R上的函数f满足对于任意实数x，y都有f=f+f，且当x＞0时，f＜0，f=-2．判断f的奇偶性并证明

题文

定义在R上的函数f（x）满足对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断f（x）的单调性，并求当x∈[-3，3]时，f（x）的最大值及最小值；
（3）在b＞2的条件下解关于x的不等式12f(bx2)-f(x)＞12f(b2x)-f(b)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．…（1分）
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）=0．∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．…（3分）
（2）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0．∴由已知得f（x₂-x₁）＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在R上是减函数．…（6分）
∴当x∈[-3，3]时，f(3)≤f(x)≤f(-3)．
∵f（3）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6，
∴f(-3)=-f(3)=6.
∴当x∈[-3，3]时，f（x）_max=6，f（x）_min=-6．…（8分）
（3）不等式可化为：f(bx2)-2f(x)＞f(b2x)-2f(b)．
而2f（x）=f（x）+f（x）=f（2x），
得f(bx2)-f(2x)＞f(b2x)-f(2b)．
即f(bx2-2x)＞f(b2x-2b)．
∵y=f（x）在R上是减函数，
∴bx2-2x＜b2x-2b，即bx²-（2+b²）x+2b＜0…①…（10分）
当b＞2＞0时，①得(x-b)(x-2b)＜0；
当b＞2时，2b＜b，此时解集为{x|2b＜x＜b}．…（12分）

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解析

∴当x∈[-3，3]时，f(3)≤f(x)≤f(-3)．

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的函数f（x）满足对于任意实数.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|