题文
已知：函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的偶函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=x3-ax（a为实数）．（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）若a＞3，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），∴f（-x）=-x3+ax又∵f（x）是偶函数，f（-x）=f（x）
∴f（x）=-x3+ax，x∈（0，1]
（2）f′（x）=-3x2+a，
∵x∈（0，1]∴-3x2∈[-3，0），
又∵a＞3∴a-3x2＞0即f′（x）＞0
∴f（x）在（0，1]上为增函数．
（3）当a＞3时，f（x）在（0，1]上是增函数，
∴fmax=f（1）=a-1=1∴a=2，（不合题意，舍去）
当0≤a≤3时，f′（x）=a-3x2，令f′（x）=0，∴x=a3如下表：
x（0，a3）a3（a3，1）f′（x）+0-f（x）↗最大值↘∴f（x）在x=a3处取得最大值-(a3)3+aa3=1
∴a=3274＜3∴x=a3＜1，满足条件
当a＜0时，f′（x）=a-3x2＜0
f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在（0，1]无最大值．
∴存在a=3274，使f（x）在（0，1]上有最大值1．
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解析
a3考点
据考高分专家说，试题“已知：函数f（x）是定义在[-1，0）∪.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
