已知函数g=logax，其中a＞1．当x∈[0，1]时，g＞1恒成立，求a的取值范围；设m是定义在[s，t]上的函数，在（s

题文

已知函数g（x）=log_ax，其中a＞1．
（Ⅰ）当x∈[0，1]时，g（a^x+2）＞1恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）设m（x）是定义在[s，t]上的函数，在（s，t）内任取n-1个数x₁，x₂，…，x_n-2，x_n-1，设x₁＜x₂＜…＜x_n-2＜x_n-1，令s=x₀，t=x_n，如果存在一个常数M＞0，使得n

i=1|m(xi)-m(xi-1)|≤M恒成立，则称函数m（x）在区间[s，t]上的具有性质P．
试判断函数f（x）=|g（x）|在区间[1a，a2]上是否具有性质P？若具有性质P，请求出M的最小值；若不具有性质P，请说明理由．
（注：n

i=1|m(xi)-m(xi-1)|=|m(x1)-m(x0)|+|m(x2)-m(x1)|+…+|m(xn)-m(xn-1)|） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当x∈[0，1]时，g（a^x+2）＞1恒成立，即x∈[0，1]时，loga(ax+2)＞1恒成立，
因为a＞1，所以a^x+2＞a恒成立，即a-2＜a^x在区间[0，1]上恒成立，
所以a-2＜1，即a＜3，
所以1＜a＜3．即a的取值范围是（1，3）．
（Ⅱ）由已知f（x）=|log_ax|，可知f（x）在[1，a²]上单调递增，在[1a，1]上单调递减，
对于(1a，a2)内的任意一个取数方法1a=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=a2，
当存在某一个整数k∈{1，2，3，…，n-1}，使得x_k=1时，
n

i=1|f(xi)-f(xi-1)|=[f(x0)-f(x1)]+[f(x1)-f(x2)]+…+[f(xk-1)-f(xk)]+[f（x_k+1）-f（x_k）]+[f（x_k+2）-f（x_k+1）]+…+[f（x_n）-f（x_n-1）]=f(1a)-f(1)+f(a2)-f(1)=1+2=3．
当对于任意的k∈{0，1，2，3，…，n-1}，x_k≠1时，则存在一个实数k使得x_k＜1＜x_k+1，
此时n

i=1|f(xi)-f(xi-1)|=[f(x0)-f(x1)]+[f(x1)-f(x2)]+…+[f(xk-1)-f(xk)]+|f（x_k+1）-f（x_k）|+[f（x_k+2）-f（x_k+1）]+…+[f（x_n）-f（x_n-1）]
=f（x₀）-f（x_k）+|f（x_k）-f（x_k+1）|+f（x_n）-f（x_k+1），（*）
当f（x_k）＞f（x_k+1）时，（*）式=f（x_n）+f（x₀）-2f（x_k+1）＜3，
当f（x_k）＜f（x_k+1）时，（*）式=f（x_n）+f（x₀）-2f（x_k）＜3，
当f（x_k）=f（x_k+1）时，（*）式=f（x_n）+f（x₀）-f（x_k）-f（x_k+1）＜3．
综上，对于(1a，a2)内的任意一个取数方法1a=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=a2，均有n

i=1|f(xi)-f(xi-1)|≤3．
所以存在常数M≥3，使n

i=1|f(xi)-f(xi-1)|≤M恒成立，
所以函数f（x）在区间[1a，a2]上具有性质P．
此时M的最小值为3．

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解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数g（x）=logax，其中a＞1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|