题文
已知函数f(x)=px2+2x-q，对定义域中的所有x都满足f（x）+f（-x）=0，f（2）=5（1）求实数p，q的值；
（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并证明． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵函数f(x)=px2+2x-q，对定义域中的所有x都满足f（x）+f（-x）=0，f（2）=5，∴f（2）=4p+22-q=5，
即4p+2=10-5q，
∴4p+5q=8，
由f（x）+f（-x）=0得px2+2x-q=-px2+2-x-q=px2+2x+q，
∴-q=q，解得q=0，
∴p=2．
（2）∵p=2，q=0，
∴函数f(x)=px2+2x-q=2x2+2x=2x+2x，
f（x）在[1，+∞）上的单调递增．
证明：设x2＞x1≥1，
则f（x2）-f（x1）=2(x2-x1)+2(x1-x2)x1x2=2(x2-x1)•x1x2-1x1x2，
∵x2＞x1≥1，
∴x2-x1＞0，x2x1＞1，
∴f（x2）-f（x1）＞0，
即f（x2）＞f（x1），
∴函数f（x）在[1，+∞）上的单调递增．
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解析
px2+2x-q考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=px2+2x-q，对定.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
