已知函数f=mx+n1+x2是定义在[-12，12]上是奇函数，且f=817确定函数f解析式用定义证明函数f在[12，1

题文

已知函数f（x）=mx+n1+x2是定义在[-12，12]上是奇函数，且f（-14）=817
（1）确定函数f（x）解析式
（2）用定义证明函数f（x）在[12，12]上是减函数
（3）若实数t满足f（t3）+f（t+1）＜0，求t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f（x）=mx+n1+x2为奇函数，
∴对于定义域内的任意实数x，都有f（-x）=-f（x）
即-mx+n1+x2=-mx+n1+x2，可得-mx+n=-mx-n，得n=0
∴f（x）=mx1+x2
∵f（-14）=817，∴-14m1+116=817，解之得m=-1
因此，函数f（x）解析式为f（x）=-x1+x2
（2）由（1）知，f（x）=-x1+x2，
设x₁、x₂∈[-12，12]，且x₁＜x₂，可得
f（x₁）-f（x₂）=-x11+x12--x21+x22=(x1-x2)(x1x2-1)(1+x12)(1+x22)
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0，（1+x12）（1+x22）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，得f（x₁）＞f（x₂）
由此可得函数f（x）在[12，12]上是减函数；
（3）∵f（x）在[12，12]上是奇函数且是减函数
∴实数t满足f（t3）+f（t+1）＜0，即f（t3）＜-f（t+1）=f（-t-1）
可得-12＜-t-1＜t3＜12，解之得-34＜t＜-12
即得实数t的范围为（-43，-12）．

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解析

mx+n1+x2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=mx+n1+x2是定义.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|