已知定义域为R的函数f(x)=2x-b2x+a是奇函数．求a，b的值；利用定义判断函数y=f的单调性；若对任意t∈[0，1]，不等式f（

题文

已知定义域为R的函数f(x)=2x-b2x+a是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）利用定义判断函数y=f（x）的单调性；
（3）若对任意t∈[0，1]，不等式f（2t²+kt）+f（k-t²）＞0恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）=0，即1-b1+a=0，可得b=1
又∵f（-1）=-f（1），即2-1-12-1+a=-2-12+a，解之得a=1，
经检验当a=1且b=1时，f(x)=2x-12x+1满足f（-x）=-f（x）是奇函数，
（2）由（1）得f(x)=2x-12x+1，任取实数x₁、x₂，且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=2x1-12x1+1-2x2-12x2+1=(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1)(2x1+1)(2x2+1)
=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)，
∵x₁＜x₂，可得2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
（3）根据（1）（2）知，函数f（x）是奇函数且在（-∞，+∞）上为增函数．
∴不等式f（2t²+kt）+f（k-t²）＞0对任意t∈[0，1]恒成立，
即f（2t²+kt）＞-f（k-t²）=f（t²-k），
∴2t²+kt＞t²-k对任意t∈[0，1]都成立．
即t²+kt+k＞0，变量分离得k＞-t2t+1对任意t∈[0，1]都成立，
设y=-t2t+1，则y′=(-t2)′(t+1)-(-t2)(t+1)′(t+1)2
=-2t(t+1)+t2(t+1)2=-t2-2t(t+1)2＜0，
∴y=-t2t+1在[0，1]上递减，则函数的最大值是0，
综上得，k＞0，
故实数k的取值范围是：k＞0．

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解析

1-b1+a

考点

据考高分专家说，试题“已知定义域为R的函数f(x)=2x-b2.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|